Инд. авторы:	Захаров Ю.Н., Крутиков В.Н., Вершинин Я.Н.
Заглавие:	Применение методов оптимизации для решения систем нелинейных уравнений гидродинамики
Библ. ссылка:	Захаров Ю.Н., Крутиков В.Н., Вершинин Я.Н. Применение методов оптимизации для решения систем нелинейных уравнений гидродинамики // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. - 2015. - № 5. - С.20-34. - ISSN 1998-8621. - EISSN 2311-2255.
Внешние системы:	DOI: 10.17223/19988621/37/2; РИНЦ: 24906923;
Реферат:	eng: There are two approaches to numerical solving steady state problems for the system of Navier-Stokes equations describing the motion of a viscous homogeneous incompressible fluid. One of them, that is most commonly used, is reduced to the solution of the non-stationary problem for the Navier-Stokes equations by an approximate method and obtaining steady solutions in the limit. Another, less popular, method is to construct a system of nonlinear algebraic equations (SNAE) using any approximation of the stationary problem solved; then, the resulting system is solved by iterative methods. Each approach has its advantages and disadvantages. The main advantages of the second approach to the solution of stationary problems are: (1) in the process of convergence of the iterative process, the condition of noncompressibility is satisfied automatically; (2) one can use boundary conditions that are hard to implement in the usual way; (3) the method for solving stationary problems does not depend on the method of replacing the system of equations by a SNAE. Disadvantages of this approach are related to the fact that the iterative solutions of the SNAE for its convergence require restrictions on the nonlinear system operators and the initial approximation, which significantly limits the possibility of using this method for solving stationary problems. The partial approximation method for solving difference problems approximating various stationary problems for the Navier-Stokes equations, based on the minimization of the residual norm minimization by specialized methods, was used earlier and proved to be effective. The possibility of solving difference problems approximating the stationary Navier-Stokes equations, multi-step iterative minimization possessing the properties of the CG method is investigated in this paper using the method of conjugate gradients and multi-step relaxation subgradient method (MSRSM). The abovementioned optimization techniques have significant differences in the implementation and requirements to the accuracy of the one-dimensional descent. The conjugate gradient methods require a high precision search. The feature of relaxation subgradient methods, in particular, the MRSM, is the search of the direction of descent for the current gradient-coordinated minimum in a neighborhood the size of which is determined by the step of minimization. This last remark explains the effectiveness of methods of this class in the rough one-dimensional search. Both the methods have successfully coped with the posed tasks within a reasonable time and high accuracy, which is confirmed by comparing the obtained results with known ones. These results allow us to expand the range of difference methods for solving problems approximating the stationary Navier-Stokes equations, which is particularly important under conditions of minimization of multiextremal functions, where it is often necessary to use several optimization methods. rus: Исследована возможность решения разностных задач, аппроксимирующих стационарную систему уравнений Навье - Стокса многошаговыми итерационными методами минимизации, обладающими свойствами метода сопряженных градиентов. Использовались метод сопряженных градиентов и многошаговый релаксационный субградиентый метод.
Ключевые слова:	субградиентный метод; многошаговый метод минимизации; метод оптимизации; уравнение Навье - Стокса; Navier-Stokes equations; conjugate gradient method; subgradient method; multistep method of minimization; optimization method; метод сопряженных градиентов;
Издано:	2015
Физ. характеристика:	с.20-34
Цитирование:	1. Захаров Ю.Н. Градиентные итерационные методы решения задач гидродинамики. Новосибирск: Наука, 2004. 239 с. 2. Захаров Ю.Н. Об одном методе решения уравнений с краевыми условиями на бесконечности//Вычислительные технологии. 1993. Т. 2. № 7. С. 56-68. 3. Захаров Ю.Н. Об одном методе решения стационарной задачи обтекания//Вычислительные технологии. 2002. Т. 7. № 3. С. 11-17. 4. Захаров Ю.Н., Гейдаров Н.А., Шокин Ю.И. Решение стационарной задачи о течении вязкой жидкости в канале, вызванном заданным перепадом давления, при наличии внутренних источников//Вычислительные технологии. 2010. Т. 15. № 5. С. 14-23. 5. Бабский В.Г., Скловский Ю.Б. Применение метода Ньютона -Канторовича к расчету течения вязкой жидкости между вращающимися эксцентричными цилиндрами//Тр. IV Всесоюзного семинара по численным методам механики вязкой жидкости. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1973. С. 63-67. 6. Лапко С.А. Итерационные процессы реализации неявных разностных схем для уравнений ввязкой несжимаемой жидкости//Дифференциальные уравнения. 1994. Т. 30. № 7. С. 1222-1224. 7. Beam Richard M., Bailey Harry E. Newton's methods for the Navier-Stokes equations//Comput. Mech.'88: Theory and Appl.: Proc. Int. Conf. Comput. Eng. Sci., Atlanta, Ga, Apr. 10-14. Berlin, 1988. V. 2. P. 51.II.1-51.II.4. 8. Захаров Ю.Н., Толстых М.А. Многопараметрическая оптимизация итерационных схем решения уравнений с полиномиальной нелинейностью//Моделирование в механике. Новосибирск, 1990. Т. 4 (21). № 1 С. 109-114. 9. Balaganckii M.Yu., Zakharov Yu. N., Shokin Yu. I. Comparison of two-and three-dimensional steady flows of a homogeneous viscous incompressible fluid//Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modeling. 2009. V. 24. No. 1. P. 1-14. 10. Milosevic H., Gaydarov N.A., Zakharov Y.N. Model of incompressible viscous fluid flow driven by pressure difference in a given channel//International Journal of Heat and Mass Transfer. 2013. V. 62. P. 242 -246. 11. Geidarov N.A., Zakharov Y.N., Shokin Yi.I. Solution of the problem of viscous fluid flow with a given pressure differential//Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modeling. 2011. V. 26. No. 1. P. 39-48. 12. Захаров Ю.Н., Иванов К.С. Об использовании градиентных итерационных методов при решении начально-краевых задач для трёхмерной системы уравнений Навье -Стокса//Вычислительные технологии. 2011. Т. 16. № 2. С. 55-69. 13. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. М.: Наука, 1983. 384 с. 14. Гилл Ф.,Мюррей У.,РайтМ. Практическая оптимизация. М.: Мир, 1985. 509 с. 15. Крутиков В.Н. Обучающиеся методы безусловной оптимизации и их применение. Томск: Изд-во Том. гос. педагогич. ун-та, 2008. 264 с. 16. Крутиков В.Н., Петрова Т.В. Релаксационный метод минимизации с растяжением пространства в направлении субградиента//Экономика и мат. методы. 2003. Т. 39. Вып. 1. С. 33-49. 17. Крутиков В.Н., Горская Т.А. Семейство релаксационных субградиентных методов с двухранговой коррекцией матриц метрики//Экономика и мат. методы. 2009. Т. 45. № 4. С. 37-80. 18. Шор Н.З. Методы минимизации недифференцируемых функций и их приложения. Киев: Наукова думка, 1979. 199 с. 19. Демьянов В.Ф., Васильев Л.В. Недифференцируемая оптимизация. М.: Наука, 1972. 368 с. 20. Крутиков В.Н., Вершинин Я.Н. Алгоритмы обучения на основе ортогонализации последовательных векторов//Вестник КемГУ. 2012. Вып. 2 (50). С. 37-42. 21. Крутиков В.Н., Вершинин Я.Н. Многошаговый субградиентный метод для решения негладких задач минимизации высокой размерности//Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2014. № 3. С. 5-19 22. Крутиков В.Н., Вершинин Я.Н. Субградиентный метод минимизации с коррекцией векторов спуска на основе пар обучающих соотношений//Вестник КемГУ. 2014. Вып. 1(1). С. 46-54. 23. Вершинин Я.Н., Быков А.А., Крутиков В.Н., Мешечкин В.В. О решении субградиентными методами регуляризованной задачи линейного программирования в системе экологического мониторинга//Вестник КемГУ. 2014. Вып. 1 (57). Т. 1. С. 35-41. 24. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978. 601 с. 25. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск: Наука, 1967. 197 с. 26. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. М.: Энергоатомиздат, 1984. 152 с. 27. Исаков А.Г. К численному решению задачи с движением вязкой несжимаемой жидкости в кубической каверне с Re = 1000//Моделирование в механике. 1990. Т. 4(21), 2. С. 64-76. 28. Исаев С.А., Судаков А.Г., Лучко Н.Н., Сидорович Т.В., Харченко В.В. Численное моделирование ламинарного циркуляционного течения в кубической каверне с подвижной гранью//ИФЖ. 2002. Т. 75. № 1. С. 49-53. 29. Guermond J.-L., Migeon C., Pineau G., Quartapelle L. Start-up flows in a three-dimensional rectangular driven cavity of aspect ratio 1:1:2 at Re = 1000//J. Fluid Mech. 2002. V. 450. P. 169-199. 30. Белолипецкий В.М., Костюк В.Ю. Численное исследование рециркуляционных течений в трехмерной каверне//Журнал прикладной механики и технической физики. 1990. № 1. С. 100-104. 31. Кудинов П.И. Численные исследования трехмерного течения в удлиненной каверне с подвижной крышкой//Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании. Усть-Каменогорск, Казахстан, 11-14 сентября 2003 года. Казахстан: ИВТ СО РАН, 2003. 32. Кудинов П.И. Численное моделирование пространственных течений вязкой несжимаемой жидкости//Вестник Днепропетровского университета. Серия Механика. Вып. 4. 2001. Т. 1. С. 89-99.