Инд. авторы:	Рогалев А.Н., Доронин С.В.
Заглавие:	Использование критериев обусловленности при численных расчетах напряженного состояния силовых конструкций
Библ. ссылка:	Рогалев А.Н., Доронин С.В. Использование критериев обусловленности при численных расчетах напряженного состояния силовых конструкций // Системы. Методы. Технологии. - 2016. - № 2. - С.91-99. - ISSN 2077-5415.
Внешние системы:	DOI: 10.18324/2077-5415-2016-2-91-99; РИНЦ: 26237462;
Реферат:	eng: One of the main problems in the finite element modeling of highly responsible technical systems is analysis of the accuracy of the results obtained. The solution of this problem allows to prove reliability of technical objects. Rounding errors and errors of approximate methods of linear algebra, used in the finite element analysis, influent the accuracy of the results as well as errors that are directly related to the method of finite elements in the selection (construction) of the finite element grid. This influence is reflected directly in the properties of a stiffness matrix and the size of the error while solving a system of linear equations with the stiffness matrix. For numerical solutions, obtained by finite element method, the characteristics for the accuracy of the computation error can be defined as the value of the error of the solution of linear equations with the stiffness matrix. To analyze the accuracy, a posteriori analysis of numerical computation errors has been realized by solving doubly the systems of linear equations with the stiffness matrix, having specially selected right side. To complete the analysis of the results of the finite element modeling, the condition number of the coefficients matrix of system has been studying which allows to identify the degree of degeneracy of the coefficient matrix at a first approximation and to determine the degree of sensitivity of numerical solutions to the errors. The use of these procedures allows to control the accuracy of the numerical solution and analyze the convergence. The approach proposed is very important for structuring the important technical objects, as errors in the design constructions lead to serious consequences. Estimates of computational error of the numerical solution of a system of linear algebraic equations with the stiffness matrix used in the article for accuracy control in problems of calculation of stress concentration factor in a circular plate with an eccentric circular cutting. The results confirm the theoretical reasoning. rus: Одним из основных вопросов при конечно-элементном моделировании высокоответственных технических систем является анализ точности полученных результатов. Решение этого вопроса позволяет обосновать надежность характеристик технических объектов. На точность результатов влияют ошибки округления и погрешность приближенных методов линейной алгебры, применяемых в конечно-элементном анализе, а также ошибки, имеющие непосредственное отношение к методу конечных элементов при выборе (построении) сетки конечных элементов, что прямо отражается в свойствах обусловленности матрицы жесткости и величине ошибки решения системы линейных уравнений с матрицей жесткости. Для численных решений, полученных методом конечных элементов, характеристика точности вычислительной ошибки может определяться как величина ошибки решения системы линейных уравнений с матрицей жесткости. Для анализа точности реализован апостериорный анализ ошибок численных вычислений путем двукратного решения системы линейных уравнений с матрицей жесткости, имеющей специально подобранную правую часть. Для полноты анализа результатов конечно-элементного моделирования изучаются числа обусловленности матрицы коэффициентов системы, что позволяет в первом приближении выявлять степень вырожденности матрицы коэффициентов и определять степень чувствительности численных решений к ошибкам. Применение этих процедур позволяет контролировать точность численного решения и анализировать сходимость. Развиваемый подход весьма актуален для конструкций ответственных технических объектов, так как ошибки при проектных расчетах здесь приводят к серьезным последствиям. Оценки вычислительной ошибки численного решения системы линейных алгебраических уравнений с матрицей жесткости применяются в статье для контроля точности в задачах расчета коэффициента концентрации напряжений в круговой пластине с эксцентричным круговым разрезом. Результаты вычислений подтверждают теоретические рассуждения.
Ключевые слова:	система линейных алгебраических уравнений; моделирование; матрица жесткости; вычислительная ошибка; accuracy control; System of linear equations; modeling; stiffness matrix; Numerical error; контроль точности;
Издано:	2016
Физ. характеристика:	с.91-99
Цитирование:	1. Чернявский А.О. Метод конечных элементов. Основы практического применения. М.: Машиностроение, 2007. 106 с. 2. Akin J.E. Finite element analysis with error estimators. Oxford. England: Elsevier Butterworth-Heinemann, 2005. 512 p. 3. Cook R.D., Malkus D.S., Plesha M.E., Witt R.J. Concepts and applications of finite element analysis. New York: John Wiley & Sons, 2002. 719 p. 4. Reddy J.N. An introduction to the finite element method. New York: McGraw-Hill Companies, 2006. 766 p. 5. Babuska I., Rheinboldt W.C. A-posteriory error estimates for the finite element method//Internat. J. Numer. Meth. Engng. 1978. № 12. P. 1597-1615. 6. Babuska I., Rheinboldt W.C. Eror estimates for adaptive finite element comutations//SIAM J. Numer. Analys. 1978. № 15 (4). P. 736-754. 7. Zlamal M. Superconvergence and reduced integration in the finite element method//Math. Соmp. 1978. Vol. 32, № 143. P. 663-685. 8. Zienkiewicz О.С., Zhu J.Z. A simple error estimator and adaptive procedure for practical engineering analysis//Internat. J. Numer. Methods Engineering. 1987. Vol. 24, № 2. P. 337-357. 9. Оганесян Л.А., Руховец Л.А. Исследование скорости сходимости вариационно-разностных схем для эллиптических уравнений второго порядка в двумерной области с гладкой границей//Журнал вычислительной метаматематики и математической физики. 1969. T. 9. C. 1102-1120. 10. Wilkinson J.A. Rounding errors in algebraic processes. London: Her Majesty's Stationary Office. 1963. 161 p. 11. Доронин С.В., Рогалев А.Н. Оценка вычислительной ошибки решения задачи о растяжении пластины с дуговым вырезом//Вестн. машиностроения. 2015. № 1. С. 24-27. 12. Рогалев А.Н., Доронин С.В., Рейзмунт Е.М. Опыт решения и постановки обратных задач конструкционной прочности//Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики-2015: тр. междунар. конф. Новосибирск: Абвей, 2015. C. 630-637. 13. Bathe K.-J. Finite Element Procedures. Prentice Hall, 2006. 1052 p. 14. Zarowski C.J. An Introduction to Numerical Analysis for electrical and computer engineers. New York: John Wiley & Sons, 2004. 608 p. 15. Turing G A. M. Rounding-off errors in matrix processes. Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics. 1948. Vol. 1, № 1. P. 287-308. 16. Golub G. H., Van Loan C. F. Matrix Computations//J. Hopkins University Press, 3rd ed., 1996. 17. Hager W.W. Condition estimates//SIAM Journal on scientific and statistical computing. 1984. Vol. 5, № 2. P. 311-316. 18. Higham N.J. A survey of condition number estimation for triangular matrices//SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing. 1987. Vol. 29, № 4. P. 575-596. 19. Higham N.J. FORTRAN codes for estimating the one-norm of a real or complex matrix, with applications to condition estimation//ACM Transactions on Mathematical Software. 1988. Vol. 14, № 4. P. 381-396. 20. Higham N.J., Tisseur F. A block algorithm for matrix 1-norm estimation, with an application to 1-norm pseudospectra//SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing. 2000. Vol. 21, № 4. P. 1185-1201. 21. Kannan R., Hendry S., Higham N., Tisseur F. Detecting the causes of ill-conditioning in Structural Finite Element Models //MIMS EPrint: 2013. № 35 (Manchester Institute for Mathematical Sciences School of Mathematics. The University of Manchester). URL http://www. manchester. ac. Uk/mims/eprints (дата обращения: 13.03.16). 22. Глазман И.М., Любич Ю.И. Конечномерный линейный анализ. М.: Наука, 1967. 475 с. 23. Петерсон Р. Коэффициенты концентрации напряжений: графики и формулы для расчета конструктивных элементов на прочность. М.: Мир, 1977. 304 с. 24. Калиткин Н.Н., Юхно Л.Ф., Кузьмина Л.В. Количественный критерий обусловленности систем линейных алгебраических уравнений//Математическое моделирование. 2011. Т. 23, № 2. С. 3-26. 25. Чернявский А.О. Метод конечных элементов. Основы практического применения. М.: Машиностроение, 2007. 106 с. 26. Akin J.E. Finite element analysis with error estimators. Oxford. England: Elsevier Butterworth-Heinemann, 2005. 512 p. 27. Cook R.D., Malkus D.S., Plesha M.E., Witt R.J. Concepts and applications of finite element analysis. New York: John Wiley & Sons, 2002. 719 p. 28. Reddy J.N. An introduction to the finite element method. New York: McGraw-Hill Companies, 2006. 766 p. 29. Babuska I., Rheinboldt W.C. A-posteriory error estimates for the finite element method//Internat. J. Numer. Meth. Engng. 1978. № 12. P. 1597-1615. 30. Babuska I., Rheinboldt W.C. Eror estimates for adaptive finite element comutations//SIAM J. Numer. Analys. 1978. № 15 (4). P. 736-754. 31. Zlamal M. Superconvergence and reduced integration in the finite element method//Math. Соmp. 1978. Vol. 32, № 143. P. 663-685. 32. Zienkiewicz О.С., Zhu J.Z. A simple error estimator and adaptive procedure for practical engineering analysis//Internat. J. Numer. Methods Engineering. 1987. Vol. 24, № 2. P. 337-357. 33. Оганесян Л.А., Руховец Л.А. Исследование скорости сходимости вариационно-разностных схем для эллиптических уравнений второго порядка в двумерной области с гладкой границей//Журнал вычислительной метаматематики и математической физики. 1969. T. 9. C. 1102-1120. 34. Wilkinson J.A. Rounding errors in algebraic processes. London: Her Majesty's Stationary Office. 1963. 161 p. 35. Доронин С.В., Рогалев А.Н. Оценка вычислительной ошибки решения задачи о растяжении пластины с дуговым вырезом//Вестн. машиностроения. 2015. № 1. С. 24-27. 36. Рогалев А.Н., Доронин С.В., Рейзмунт Е.М. Опыт решения и постановки обратных задач конструкционной прочности//Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики-2015: тр. междунар. конф. Новосибирск: Абвей, 2015. C. 630-637. 37. Bathe K.-J. Finite Element Procedures. Prentice Hall, 2006. 1052 p. 38. Zarowski C.J. An Introduction to Numerical Analysis for electrical and computer engineers. New York: John Wiley & Sons, 2004. 608 p. 39. Turing G A. M. Rounding-off errors in matrix processes. Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics. 1948. Vol. 1, № 1. P. 287-308. 40. Golub G. H., Van Loan C. F. Matrix Computations//J. Hopkins University Press, 3rd ed., 1996. 41. Hager W.W. Condition estimates//SIAM Journal on scientific and statistical computing. 1984. Vol. 5, № 2. P. 311-316. 42. Higham N.J. A survey of condition number estimation for triangular matrices//SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing. 1987. Vol. 29, № 4. P. 575-596. 43. Higham N.J. FORTRAN codes for estimating the one-norm of a real or complex matrix, with applications to condition estimation//ACM Transactions on Mathematical Software. 1988. Vol. 14, № 4. P. 381-396. 44. Higham N.J., Tisseur F. A block algorithm for matrix 1-norm estimation, with an application to 1-norm pseudospectra//SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing. 2000. Vol. 21, № 4. P. 1185-1201. 45. Kannan R., Hendry S., Higham N., Tisseur F. Detecting the causes of ill-conditioning in Structural Finite Element Models //MIMS EPrint: 2013. № 35 (Manchester Institute for Mathematical Sciences School of Mathematics. The University of Manchester). URL http://www. manchester. ac. Uk/mims/eprints (дата обращения: 13.03.16). 46. Глазман И.М., Любич Ю.И. Конечномерный линейный анализ. М.: Наука, 1967. 475 с. 47. Петерсон Р. Коэффициенты концентрации напряжений: графики и формулы для расчета конструктивных элементов на прочность. М.: Мир, 1977. 304 с. 48. Калиткин Н.Н., Юхно Л.Ф., Кузьмина Л.В. Количественный критерий обусловленности систем линейных алгебраических уравнений//Математическое моделирование. 2011. Т. 23, № 2. С. 3-26.